Relacions mètriques

Sabent que la resta dels radis vectors és constant i igual a 2a i el semieix real és a, el semieix imaginari b i la semidistància focal c, es pot arribar a relacionar a, b i c com:

c² = a² + b²

^{Si s'activa l'animació que hi ha a continuació (clicant el botó inferior esquerre) es podrà veure com el punt P va a l'infinit:}

Com es pot veure, un cop el punt P és a l'infinit, les rectes FP i F'P són paral·leles (α = β). Com el punt P pertany a la hipèrbola, es compleix que d' - d = 2a i per tant, F'C = F'P - FP = 2a.

Llavors, com el triangle FF'Q és de costats F'C = 2a i FF' = 2c, el cosinus α és:

Tenint en compte que l'equació de l'asímptota és:

Es pot afirmar que:

És a dir que el triangle FF'Q és equivalent al triangle FOR d'hipotenusa c i catets a i b. Si s'aplica el Teorema de Pitàgores:

c² = a² + b²